Question

4．如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P₀）开始计算时间．
（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；
（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．

Answer 1

分析 （1）设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系$y=Asin（?t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，利用周期求得ω，当t=0时，y=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得．
（2）根据正弦函数的图象和性质可得t=5+15k（k∈Z）即当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．

解答 解：（1）以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系$y=Asin（?t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，
∵水轮每分钟旋转4圈，
∴$T=\frac{60}{4}=15$．
∴$?=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{15}$．
∵水轮半径为4 m，
∴A=4．
∴$y=4sin（\frac{2π}{15}t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜0）$．
当t=0时，y=0．
∴$φ=-\frac{π}{6}$．
∴$y=4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2$．
（2）由于最高点距离水面的距离为6，
∴$6=4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2$．
∴$sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）=1$．
∴$\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$．
∴t=5+15k（k∈Z）．
∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．

点评 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．