Question

点P是双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与圆C₂：x²+y²=a²+b²的一个交点，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，其中F₁，F₂分别为双曲线C₁的左右焦点，则双曲线C₁的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，求出∠PF₁F₂=

π

6

，得出|PF₂|、|PF₁|的大小，再利用双曲线的定义，求出c与a的关系，即得离心率的值．

解答： 解：如图所示，
∵F₁F₂圆C₂：x²+y²=a²+b²的直径，∴∠F₁PF₂是直角；
∴在Rt△PF₁F₂中，2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=

π

6

，
∴|PF₂|=

1

2

|F₁F₂|=c，
∴|PF₁|=

3

|PF₂|=

3

c，
∴|PF₁|-|PF₂|=

3

c-c=2a，
∴

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查了双曲线的定义与几何性质的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，是基础题．