Question

已知数列{a_n}的a₁=2，设其前n项和为S_n，且对任意的n∈N₊，n≥2，a_n总是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中项，则下列各式成立的是（　　）
①S_n•S_n+2＞S²_n+1；
②S_n•S_n+2＜S²_n+1；
③S_n+S_n+2＜2S_n+1
④S_n+S_n+2＞2S_n+1．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：n≥2，a_n总是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中项，可得2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1，由此能导出数列{a_n}是首项是2，公比是

1

2

的等比数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式，再求出S_n=4-(

1

2

)n-2，利用作差法，即可得出结论．

解答： 解：∵n≥2，a_n总是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中项，
∴2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1
∴2a_n=3S_n-

5

2

Sn-1-2
∴a_n+S_n-4=0，（n≥2）
∴当n≥3时，a_n-1+S_n-1-4=0
∴a_n-a_n-1+a_n=0即2a_n=a_n-1，（n≥3）
又a₂+S₂-4=0，
∴a₂=1．
∴a_n=(

1

2

)n-2，
∴S_n=4-(

1

2

)n-2，
∴S_n•S_n+2-S²_n+1=16-20•(

1

2

)n+4•(

1

2

)2n-16+16•(

1

2

)n+4•(

1

2

)2n=-4•(

1

2

)n＜0，即②正确；
S_n+S_n+2-2S_n+1=4-(

1

2

)n-2+4-(

1

2

)n-2[4-(

1

2

)n-1]＜0，即③正确．
故选：B．

点评：本题考查等差数列的性质，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．