Question

（1）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的定义域为R，则a的范围为

 

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（2）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的值域为R，则a的范围为

 

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Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）根据函数y=log₂（ax²+2x+1）定义域为R，得到ax²+2x+1的值恒为正，由图象特征进行分类讨论，研究所得一次函数或二次函数的图象应在x轴上方，得到本题结论；（2）函数y=log₂（ax²+2x+1）的值域为R，得到ax²+2x+1可取到所有的正数，根据图象特征进行分类讨论，研究对应的一次函数和二次函数的特征，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数y=log₂（ax²+2x+1）的定义域为R，
∴y=ax²+2x+1的值恒为正，
当a=0时，y=2x+1∈R，不合题意；
当a≠0时，y=ax²+2x+1图象在x轴上方，
∴a＞0，
△=2²-4a＜0，
∴a＞1．
（2）∵函数y=log₂（ax²+2x+1）的值域为R，
∴函数y=ax²+2x+1可取到所有的正数，
当a=0时，y=2x+1∈R，适合题意；
当a≠0时，y=ax²+2x+1图象开口向上，顶点在x轴下方，
∴a＞0，
△=2²-4a≥0，
∴0＜a≤1．
综上，0≤a≤1．
故答案为：（1）（1，+∞）；（2）[0，1]．

点评：本题考查了函数的定义域的值域、函数图象与性质的关系，本题难度不大，属于基础题．