Question

已知函数f(x)=loga

2m-1-mx

x+1

(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质，得到任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即可得到（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0在D内恒成立，即得到

m2-1=0 (2m-1)2-1=0

即可得到m，写出区间D；
（2）令t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

，在D=（-1，1）上是随x增大而减小，根据复合函数的单调性即可判断；
（3）根据A⊆D，结合（2）知函数f(x)=loga

1-x

1+x

在A上是增函数，得到f(a)=1，即 loga

1-a

1+a

=1得到a，在根据若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为[1，loga

1-b

1+b

)，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，得到b．

解答：解（1）∵y=f（x）是奇函数，
∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga

2m-1-mx

1+x

+loga

2m-1+mx

1-x

=0．
化简此式，得（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），
必有

m2-1=0 (2m-1)2-1=0

，解得m=1．
∴f(x)=loga

1-x

1+x

，D=(-1，1)．
（2）当0＜a＜1时，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是单调增函数．
理由：令t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

．
易知1+x在D=（-1，1）上是随x增大而增大，

2

1+x

在D=（-1，1）上是随x增大而减小，
故t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

在D=（-1，1）上是随x增大而减小
于是，当0＜a＜1时，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是单调增函数．
（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）
∴0＜a＜1，a＜b≤1．
∴由（2）知，函数f(x)=loga

1-x

1+x

在A上是增函数，即f(a)=1，loga

1-a

1+a

=1，
解得a=

2

-1(舍去a=-

2

-1)．
若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为[1，loga

1-b

1+b

)，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，
∴必有b=1．
因此，所求实数a、b的值是a=

2

-1、b=1．

点评：本题从恒等式出发得到m，另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题．