Question

已知函数f(x)=a|x|+

2

ax

（a＞0，a≠1），
（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令a^x=t，将“方程f（x）=m有两个不同的正数解”转化为：“关于t的方程t+

2

t

=m有相异的且均大于1的两根”，即关于t的方程t²-mt+2=0有相异的且均大于1的两根，求解．
（2）根据题意有g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根据指数函数，分①当a＞1时，②当0＜a＜1时，两种情况分析，每种情况下，根据绝对值，再按照x≥0时和-2≤x＜0两种情况讨论．最后综合取并集．

解答：解：（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解
转化为：方程t+

2

t

=m有相异的且均大于1的两根，
∴

△=m2-8＞0 m 2 ＞1 12-m+2＞0

解得2

2

＜m＜3，
故实数m的取值范围是(2

2

，3)．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①当a＞1时，
x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0时，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x，所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna
ⅰ当

1

a2

＞

1 2

即1＜a＜

4	2

时，对?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上递增，
所以g(x)∈[a2+

2

a2

，3)，
综上：g（x）有最小值为a2+

2

a2

与a有关，不符合（10分）
ⅱ当

1

a2

≤

1 2

即a≥

4	2

时，由g′（x）=0得x=-

1

2

loga2，
且当-2＜x＜-

1

2

loga2时，g′（x）＜0，
当-

1

2

loga2＜x＜0时，g′（x）＞0，
所以g（x）在[-2，-

1

2

loga2]上递减，在[-

1

2

loga2，0]上递增，
所以g(x)min=g(-

1

2

loga2)=2

2

，
综上：g（x）有最小值为2

2

与a无关，符合要求．
②当0＜a＜1时，
a）x≥0时，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0时，1＜ax≤

1

a2

，g（x）=a^-x+2a^x，
所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna＜0，g（x）在[-2，0）上递减，
所以g(x)∈(3，a2+

2

a2

]，
综上：a）b）g（x）有最大值为a2+

2

a2

与a有关，不符合
综上所述，实数a的取值范围是a≥

4	2

．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根，函数的最值等问题，还考查了分类讨论思想，转化思想．