Question

【题目】在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2 ． 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为

ξ	0	2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，

由对立事件和相互独立事件性质，

知p（ξ=0）=（1﹣q1）（1﹣q2）2=0.03，

∵q1=0.25，

∴解得q2=0.8

（2）解：根据题意p1=p（ξ=2）=（1﹣q1） （1﹣q2）q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24，

p2=p（ξ=3）= =0.25×（1﹣0.8）2=0.01，

p3=p（ξ=4）=（1﹣q1） =0.75×0.82=0.48，

p4=p（ξ=5）=q1q2+q1（1﹣q2）q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，

因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63

（3）解：用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，

用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，

则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72，

P（D）= =0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896，

故P（D）＞P（C）．

即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率

【解析】（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质，能求出q2 ． （2）分别求出p1=p（ξ=2），p2=p（ξ=3），p3=p（ξ=4），p4=p（ξ=5），由此能求出Eξ．（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5），P（D）= ，由此能求出结果．
【考点精析】通过灵活运用离散型随机变量及其分布列，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列即可以解答此题．