【题目】已知
、
、
为实数，
，
，记集合
，
，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若集合
的元素个数为2，则集合
的元素个数也一定为2
B.若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C.若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D.若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
【答案】D
【解析】
利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合
的元素个数分别为2、3时, 集合
的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况,最后选出正确答案.
选项A：当
时
，集合的元素个数为2，此时
,集合的元素个数为1,故本选项说法错误；
选项B：当
时
,集合的元素个数为2,此时
，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；
选项C：当时，集合的元素个数为3，此时,集合的元素个数为2,故本选项说法错误；
选项D：若集合的元素个数为3，方程
有三个不等实根,则有
,在该条件下方程
一定有
这一个根，且不是
的根，又
，所以有两个不等于
的根，即集合的元素个数也一定为3.
故选：D
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【题目】函数
（
），满足
，且
在
时恒成立.
（1）求
、
的值；
（2）若
，解不等式
；
（3）是否存在实数
，使函数
在区间
上有最小值
？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
： 
的离心率
，左顶点为
，过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
，交
轴于点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知
为
的中点，是否存在定点
，对于任意的
都有
，若存在，求出点
的
坐标；若不存在说明理由；
（3）若过
点作直线
的平行线交椭圆
于点
，求
的最小值．
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【题目】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为
：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为
.每台仪器各项费用如表：
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额（元） | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润
出厂价
生产成本
检验费
调试费）；
（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记
为生产两台仪器所获得的利润，求
的分布列和数学期望．
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【题目】己知函数
（1）若
，
，求不等式
的解；
（2）对任意
，
，试确定函数
的最小值
（用含
，
的代数式表示），若正数、满足
，则、分别取何值时，有最小值，并求出此最小值.
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【题目】一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润
万元，该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了
；若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为
万元，其中
．
若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；
若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值．
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【题目】运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目．15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类．同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有______人．
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