Question

【题目】己知函数

（1）若，，求不等式的解；

（2）对任意，，试确定函数的最小值（用含，的代数式表示），若正数、满足，则、分别取何值时，有最小值，并求出此最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，最小值为.

【解析】

（1）根据题意，解不等式，按，，进行讨论，判断出绝对值的正负，解相应的不等式，得到答案；（2）按，，，进行讨论，得到函数的最小值，再将转化为，利用基本不等式求出的最小值，并求出此时、的值.

（1）函数，代入，，

由得

当时，，解得，所以，

当时，，解得，所以，

当时，，解得，所以，

综上，不等式的解集为.

（2）因为，，

所以当时，，

此时单调递减，所以，

当时，，

此时为常函数，所以，

当时，，

此时单调递增，所以

综上可得，的最小值，

又因为，，且，即，

所以

，

当且仅当时，即时，等号成立.

故当，，最小值为.