【题目】已知函数
在点
处的切线与直线
平行,且函数
有两个零点.
(1)求实数的值和实数
的取值范围;
(2)记函数的两个零点为
,求证:
(其中
为自然对数的底数).
【答案】(1),
且
(2)见解析
【解析】试题分析:(1)由切线求出,再由求导得到
在
单调递减,在
单调递增,
,则
且
;(2)设
,欲证
,即证
,只须证
,记函数
,通过求导分析得
.
试题解析:
解:(1)由,
得:
由
进而得,
故当时,
;当
时,
;
所以函数在
单调递减,在
单调递增,
要使函数在
有两个零点,则
且
(用分离参数,转化为数形结合,可对应给分)
(2)由(1),我们不妨设
欲证,即证
又函数在
单调递增,即证
由题设,从而只须证
记函数,
则,
记,得
因为,所以
恒成立,即
在
上单调递增,又
所以在
上恒成立,即
在
单调递减
所以当时,
,即
从而得.
上恒成立,即在
单调调递
所以当时,
,即
从而得.
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【题目】“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸末,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到个组成,周而复始,循环记录。2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的()
A. 己亥年 B. 戊戌年 C. 辛丑年 D. 庚子年
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,左顶点为
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为
的中点,是否存在定点
,对于任意的
都有
,若存在,求出点
的
坐标;若不存在说明理由;
(3)若过点作直线
的平行线交椭圆
于点
,求
的最小值.
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【题目】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为
.每台仪器各项费用如表:
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润出厂价
生产成本
检验费
调试费);
(Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记为生产两台仪器所获得的利润,求
的分布列和数学期望.
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【题目】己知函数
(1)若,
,求不等式
的解;
(2)对任意,
,试确定函数
的最小值
(用含
,
的代数式表示),若正数
、
满足
,则
、
分别取何值时,
有最小值,并求出此最小值.
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均在35微克/立方米以下空气质量为一级,在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级,在75微克/立方米以上空气质量为超标.北方某市环保局从2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如下图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)15天的数据中任取3天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数,求
的分布列;
(2)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.
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【题目】一个生产公司投资A生产线500万元,每万元可创造利润万元,该公司通过引进先进技术,在生产线A投资减少了x万元,且每万元的利润提高了
;若将少用的x万元全部投入B生产线,每万元创造的利润为
万元,其中
.
若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;
若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润,求a的最大值.
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