Question

【题目】函数（），满足，且在时恒成立.

（1）求、的值；

（2）若，解不等式；

（3）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）当时,原不等式的解集为,

当时,原不等式的解集为空集,

当时,原不等式的解集为,

（3）存在，或.

【解析】

(1)由,得,再由在上恒成立得判别式小于等于0可得;

(2)由(1)得,从而化不等式为,再讨论可得;

(3),假设存在实数,使函数在区间上有最小值,从而讨论函数单调性确定最小值,从而解得.

(1)由,得,

因为在上恒成立,即在上恒成立,

所以且,

所以,

所以,

所以,

所以.

(2)由(1)得,

因为,

所以,

由得,

所以,

所以,当时,不等式的解为,

当时,不等式无解;

当时, 不等式的解为,

综上所述:当时,原不等式的解集为;

当时,原不等式的解集为空集;

当时,原不等式的解集为.

(3)因为,

所以的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线,

假设存在实数,使函数在区间上有最小值,

①当,即时,函数在区间上是增函数,所以,

即,

化简得:,

所以,

解得或,

因为,所以.

②当,即时,函数的最小值为,

即,

化简得:,解得或,

因为,所以或都舍去.

③当,即时,在区间上是减函数,

所以的最小值为,

即,

化简得:,

解得或,

因为,所以.

综上,存在实数,当或时, 函数在区间上有最小值.