Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+10n，则数列{|a_n|}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由等差数列的前n项和公式，先求出其通项公式，从而得到当n≤5时，T_n=S_n；当n≥6时，T_n=-S_n+2S₅．由此能求出数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+10n，
∴a_n=S_n-S_n-1=-n²+10n-[-（n-1）²+10（n-1）]=-2n+11，n≥2，
n=1时，a₁=S₁=-1+10=9，
满足上式，∴a_n=-2n+11，n∈N^*．
a_n=-2n+11≥0，解得n$≤\frac{11}{2}$，
a₅=-2×5+11=1＞0，a₆=-2×6+11=-1＜0，
∴当n≤5时，T_n=S_n=-n²+10n．
当n≥6时，T_n=-S_n+2S₅=n²-10n+50．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．