Question

14．设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R），当k∈（${\frac{1}{2}$，1）时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性然后求解函数的最大值即可．

解答 解：f（x）=（x-1）e^x-kx²
f′（x）=x（e^x-2k）=0可得x₁=0，x₂=ln2k．∵k∈（$\frac{1}{2}$，1]，则2k∈（1，2]．
∴ln2k∈（0，ln2]令x₂＞x₁

∴在（0，ln2k）↓（ln2k，k）↑图象
由图象可知最大值在0处或k处取得，
∴f（k）-f（0）=（k-1）e^k-k³+1=（k-1）e^k-（k-1）（k²+k+1）=（k-1）（e^k-k²-k-1）
令h（k）=e^k-k²-k-1h′（k）=e^k-2k-1h′′（k）=e^k-2=0
∴k=ln2在（$\frac{1}{2}$，1]上先减后增h′（1）=e-3＜0，h′（${\frac{1}{2}}$）=$\sqrt{e}$-2＜0
∴h′（k）_max＜0，即h（k）单调递减∴h（k）_max=h（${\frac{1}{2}}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{2}$=$\sqrt{e}$-$\frac{7}{4}$
又∵e-$\frac{49}{16}$＜0∴f（k）-f（0）＞0．
∴f（x）_max=f（k）=（k-1）e^k-k³=（k-1）e^k-k³．

点评 本题的精华点在于导函数与原函数的穿插运用，注意图象中导函数与原函数的图象的应用，考查计算能力，转化思想的应用．