Question

2．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为$\frac{3}{4}$：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为$\frac{4}{5}$．每台仪器各项费用如表：

项目	生产成本	检验费/次	调试费	出厂价
金额（元）	1000	100	200	3000

（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；
（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出每台仪器不能出厂的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出每台仪器能出厂的概率．
（Ⅱ）利用相互独立事件概率乘法公式能求出生产一台仪器利润为1600的概率．
（Ⅲ）X可取3800，3500，3200，500，200，-2800．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A，
则$P（A）=（1-\frac{3}{4}）（1-\frac{4}{5}）=\frac{1}{20}$，
所以每台仪器能出厂的概率$P（\overline A）=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$．
（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率：
$P=（1-\frac{3}{4}）×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$．
（Ⅲ）X可取3800，3500，3200，500，200，-2800．
$P（X=3800）=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，
$P（X=3500）=C_2^1×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$，
$P（X=3200）={（\frac{1}{5}）^2}=\frac{1}{25}$，
$P（X=500）=C_2^1×\frac{3}{4}×（\frac{1}{4}×\frac{1}{5}）=\frac{3}{40}$，
$P（X=200）=C_2^1×\frac{1}{5}×（\frac{1}{4}×\frac{1}{5}）=\frac{1}{50}$，
$P（X=-2800）={（\frac{1}{4}×\frac{1}{5}）^2}=\frac{1}{400}$．
X的分布列为：

X	3800	3500	3200	500	200	-2800
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{40}$	$\frac{1}{50}$	$\frac{1}{400}$

$E（X）=3800×\frac{9}{16}+3500×\frac{3}{10}+3200×\frac{1}{25}+500×\frac{3}{40}+200×\frac{1}{50}+（-2800）×\frac{1}{400}=3350$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题．