Question

17．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．
（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知过P（0，-2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求C点的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx-2，与抛物线方程联立，求出斜率，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）设C（x，y）（y≠0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B（-x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）²=（x-1）²+y²，
化简得y²=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y²=4x（y≠0）．
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=kx-2\end{array}\right.$得ky²-4y-8=0，
所以${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，${y_1}{y_2}=-\frac{8}{k}$，${k_{MQ}}=\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-1}}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}-1}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}$，同理${k_{NQ}}=\frac{4}{{{y_2}+2}}$，${k_{MQ}}•{k_{NQ}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}•\frac{4}{{{y_2}+2}}=\frac{16}{{{y_1}{y_2}+2（{y_1}+{y_2}）+4}}=4$，
所以Q（1，2）与M，N两点连线的斜率之积为定值4．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．