Question

12．已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，则（　　）

• A． f（x）＞0
• B． f（x）＜0
• C． f（x）为减函数
• D． f（x）为增函数

Answer 1

分析 构造函数g（x）=xe^xf（x），g′（x）=e^x[（x+1）f（x）+x′（x）]，可得函数g（x）在R上单调递增，而g（0）=0
即x＞0时，g（x）=xe^xf（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）=xe^xf（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．

解答 解：构造函数g（x）=xe^xf（x），g′（x）=e^x[（x+1）f（x）+x′（x）]，
∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）=e^x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，
故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）=0
∴x＞0时，g（x）=xe^xf（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）=xe^xf（x）＜0⇒f（x）＞0；
在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．
综上，f（x）＞0．
故选：A．

点评 题考查了函数零点的判断；本题的难点在于构造新函数g（x）=xe^xf（x），通过求导判断函数的单调性．