Question

1．已知双曲线Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x-a）²+y²=8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{13}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{13}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，圆C的圆心和半径，设OA=t，由$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，
过C作CD⊥AB，且D为AB的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公式，解得a，b，c，再由离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线l的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
圆C：（x-a）²+y²=8的圆心C（a，0），半径为r=2$\sqrt{2}$，
由△ABC为等腰直角三角形，可得AB=$\sqrt{2}$r=4，
设OA=t，由$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，
过C作CD⊥AB，且D为AB的中点，OD=3，AB=4，AD=2，
C到直线l的距离为CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
在直角三角形OCD中，CD²=OC²-OD²，
在直角三角形ACD中，CD²=AC²-AD²，
即有a²-9=8-4，解得a=$\sqrt{13}$，
即有CD=2=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，解得b=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{13+\frac{52}{9}}$=$\frac{13}{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查圆的垂径定理和直角三角形的勾股定理的运用，以及向量的共线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．