Question

11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ+4cosθ=0．
（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M（-2，0），求|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l的参数方程消去参数能求出直线l的普通方程；由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的普通方程．
（Ⅱ）设A，B对应的参数为t₁，t₂，将$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入y²=-4x，得：3t²+4t-8=0，由此利用韦达定理能求出|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|的值．

解答 解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），得y=$\sqrt{3}$（x-2），
∴直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0．
由ρsin²θ+4cosθ=0，得ρ²sin²θ+4ρcosθ=0，
又∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的普通方程为y²=-4x．
（Ⅱ）设A，B对应的参数为t₁，t₂，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入y²=-4x，得：3t²+4t-8=0，
∴${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{4}{3}$，t₁t₂=-$\frac{8}{3}$，
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$可化为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}×（2t）}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}×（2t）}\end{array}\right.$，
∴|MA|=|2t₁|，|MB|=|2t₂|，∴|$\frac{1}{|MA|}$-$\frac{1}{|MB|}$|=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{2|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{4}{3}÷\frac{16}{3}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查直线、椭圆的直角坐标方程的求法，考查两条线段的倒数差的绝对值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．