Question

9．已知函数$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+{x^3}$，若函数y=f（x）+f（k-x²）有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{4}，+∞}）$
• B． $（{-\frac{1}{4}，0}）$
• C． $（{-\frac{1}{4}，2}）$
• D． $[{-\frac{1}{4}，2}]$

Answer 1

分析 判断函数$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+{x^3}$在区间（-1，1）上单增，且是奇函数；利用y=f（x）+f（k-x²）有两个零点，等价于方程x²-x-k=0在区间（-1，1）上有两个零点，列出不等式组求解即可．

解答 解：根据题意，可知$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+{x^3}$在区间（-1，1）上单增，且是奇函数；
由函数y=f（x）+f（k-x²）有两个零点，
等价于方程x²-x-k=0在区间（-1，1）上有两个零点，
令g（x）=x²-x-k，则满足$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ g（-1）＞0\\ g（1）＞0\end{array}\right.$，得$-\frac{1}{4}＜k＜0$．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．