Question

7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a_n，则$\frac{{{a_1}+{a_3}+…+{a_{29}}+{a_{31}}}}{{{a_2}+{a_4}+…+{a_{28}}+{a_{30}}}}$的值为（　　）

• A． $\frac{16}{5}$
• B． $\frac{16}{15}$
• C． $\frac{16}{29}$
• D． $\frac{16}{31}$

Answer 1

分析 由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a_n}，设公差为d（尺），运用等差数列的通项公式和的求和公式即可得出．

解答 解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a_n}，
a₁=5（尺），S₃₁=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），
则31×5+$\frac{31×30}{2}$d=390，解得d=$\frac{47}{93}$．
则$\frac{{{a_1}+{a_3}+…+{a_{29}}+{a_{31}}}}{{{a_2}+{a_4}+…+{a_{28}}+{a_{30}}}}$=$\frac{16{a}_{1}+\frac{1}{2}×16×15×2d}{15{a}_{2}+\frac{1}{2}×15×14×2d}$
=$\frac{16}{15}$•$\frac{{a}_{1}+15d}{{a}_{2}+14d}$=$\frac{16}{15}$•$\frac{{a}_{16}}{{a}_{16}}$=$\frac{16}{15}$．
故选：B．

点评 本题考查等差数列在实际问题中的运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及运算能力，属于中档题．