Question

8．三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，AD=1，△BCD是边长为2的等边三角形，则该几何体外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{17}{6}π$
• B． $\frac{19}{6}π$
• C． $\frac{17}{3}π$
• D． $\frac{19}{3}π$

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥A-BCD外接球的表面积．

解答 解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，DA⊥平面BCD，
可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是边长为2的正三角形，
∴△BCD的外接圆半径r=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=$\frac{1}{2}$，R=$\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{19}{12}}$，
故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4πR²=$\frac{19π}{3}$．
故选：D

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，正确求出球的半径R是解答的关键．属于中档题，