Question

已知函数f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x-m）为偶函数，求m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

解出x的范围，即可得函数的单调区间；
（2）可得f（x-m）=2sin（2x-2m+

π

3

），由偶函数的对称性，求出对称轴，给k取特值可得满足条件的m值．

解答：解：（1）由三角函数的公式化简可得
f（x）=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin2x+sinx•cosx
=2sinxcosx+

3

cos²x-

3

sin2x=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，可得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
故f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），
∴f（x-m）=2sin（2x-2m+

π

3

），
∵f（x-m）为偶函数，
∴图象关于y轴对称，
由-2m+

π

3

=kπ+

π

2

，解得m=-

kπ

2

-

π

12

，k∈Z
∴当k=-1时，m取最小正值为m=

5π

12

．

点评：本题考查三角函数的计算公式，涉及函数的单调性和对称性，属中档题．