Question

已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，
，其中a为常数，k为非零常数.
（Ⅰ）令，证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）当时，求.

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析；
（Ⅱ）数列的通项公式为   ，
（Ⅲ）当时, 

本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
（1）由题意知a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（an_-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，），得an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（a_n-an_-1）（n=2，3，4，），由此可知an-an-1=k（a_n-a_n-1），（n=2，3，4，），得k=1．
（2）由b₁=a₂-a₁≠0，知b₂=a₃-a₂=f（a₂）-f（a₁）=k（a₂-a₁）≠0．因此b_n=a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）═kn-1_（a₂-a₁）≠0，由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列．
（3）{an}是等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）；先进行充分性证明：若f（x）=kx（k≠1），则{an}是等比数列．再进行必要性证明：若{an}是等比数列，f（x）=kx（k≠1）．
（Ⅰ）证明：由，可得
.由数学归纳法可证
.
由题设条件，当时
因此，数列是一个公比为k的等比数列.
（Ⅱ）解：由（1）知，
当时，
当时，   .
而  
所以，当时,      .上式对也成立. 所以，数列的通项公式为. 当时
   。上式对也成立，所以，数列的通项公式为   ，
（Ⅲ）解：当时,