Question

(

x

+

1

x

)n的展开式中各项系数和是512，则展开式中常数项是

 

．

Answer 1

分析：观察(

x

+

1

x

)n可知，展开式中各项系数的和为512，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=512，从而得n，利用二项展开式中的第r+1项，即通项公式Tr+1=c_n^r（

x

）^n-r（

1

x

）^r，将n代入，并整理，令x的次数为0，解出r，从而得解．

解答：解：由题意得C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=512，
即2ⁿ=512，解得n=9．该二项展开式中的第r+1项为 Tr+1=

C

r 8

(

x

)9-r•(

1

x

)r=

C

r 8

•x

9-3r

2

令

9-3r

3

=0，得r=3，此时，常数项为T₄=C₉³=84．
故答案为：84．

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．