Question

已知函数f(x)=a(2cos²+sinx)+b,

(1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间;

(2)当a＜0时,且x∈［0,π］时,f(x)的值域是［3,4］,求a、b的值.

Answer 1

思路解析：三角函数的性质是三角函数的一个很重要的内容,在求复杂的三角函数式的相关性质时,我们一般是先将复杂式子化简来求.

解：(1)∵a=1,

∴f(x)=2cos²+sinx+b=sinx+cosx+b+1=sin(x+)+1+b.

∵y=sinx的单调递增区间为［2kπ-,2kπ+］(k∈Z),

∴当2kπ-≤x+≤2kπ+,

即2kπ-≤x≤2kπ+ (k∈Z)时,f(x)是增函数.

故f(x)的单调递增区间是［2kπ-,2kπ+］(k∈Z).

(2)由(1)得f(x)=asin(x+)+a+b.

∵x∈［0,π］,

∴≤x+≤.

∴-≤sin(x+)≤1.

又∵a＜0,≤asin(x+)≤-a,

∴a+a+b≤f(x)≤b,而f(x)的值域是［3,4］.

∴a+a+b=3且b=4,解得a=1-,b=4.