Question

19．已知甲、乙、丙等6人．
（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？
（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，求甲不参加第一项活动且乙不参加第三项活动的概率．
（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率．

Answer 1

分析 （1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，相加，即得所求．
（2）所有的安排方法共有$A_6^6$种，其中甲参加第一项活动的方法有$A_5^5$种，乙参加第三项活动的方法有$A_5^5$种，甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有$A_4^4$种，利用间接法得到所求．
（3）求得每项活动至少有1人参加的方法有$（C_6^3+\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2）A_4^4=65×24=1560$种，再求得所有的安排方法共有 4⁶ 种，由此求得每项活动至少有1人参加的概率．

解答 解：（1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，分别为$C_6^1，C_6^2，C_6^3，C_6^4，C_6^5，C_6^6$，
故共有2⁶-1=63种方法．…4
（2）所有的安排方法共有$A_6^6$种，其中甲参加第一项活动的方法有$A_5^5$种，
乙参加第三项活动的方法有$A_5^5$种，
甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有$A_4^4$种，
故甲不参加第一项活动且乙不参加第三项活动的不同的安排方法有$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=504$种．…8
又因为所有的安排方法有$A_6^6$=720种，所以甲不参加第一项活动且乙不参加第三项活动的概率为$\frac{7}{10}$…9
（3）这6人同时参加4项不同的活动，每项活动至少有1人参加，
若各项活动的人数为3、1、1、1时，有$C_6^3•A_4^4$种方法，
若各项活动的人数为2、2、1、1，则有$\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2•A_4^4$种方法，
故满足条件的方法数为$（C_6^3+\frac{1}{2}C_6^2•C_4^2）A_4^4=65×24=1560$种．…13
而所有的安排方法共有4⁶种，故每项活动至少有1人参加的概率为$\frac{65×24}{4^6}=\frac{195}{512}$…14

点评 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排，体现了分类讨论的数学思想．当直接解的情况比较复杂时，可以考虑用间接解法，是一个中档题目．