Question

9．函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$ax²-2x
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞-1，对任意的a有f（x）-b＜0（x∈（0，1]）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性；
（Ⅱ）lnx-$\frac{1}{2}a{x}^{2}-2x＜b$恒成立，则$b＞{（lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x）_{max}}$，$h（a）＜h（-1）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，只要$b≥\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=\frac{3{x}^{2}+2x-1}{x}..（x＞0）$，..…（2分）
x∈（0，$\frac{1}{3}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调增…（4分）
x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调减…（6分）
（Ⅱ）首先，对于任意a∈（-1，+∞），lnx-$\frac{1}{2}a{x}^{2}-2x＜b$恒成立，
则$b＞{（lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x）_{max}}$…（8分）
因为函数$h（a）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x=-\frac{1}{2}{x^2}a-2x+lnx$在（-1，+∞）上是减函数，
所以$h（a）＜h（-1）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，∴$b≥\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$..…（10分）
其次，对任意的x∈（0，1），不等式$b≥\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$恒成立，
于是b≥（$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+lnx）_{max}$_max…（12分）
令g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+lnx$，则$g'（x）=x-2+\frac{1}{x}=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$，所以函数g（x）在（0，1]上是增函数，
于是$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{3}{2}$，故b$≥-\frac{3}{2}$，即b的取值范围是[$-\frac{3}{2}，+∞）$…（14分）

点评 此题主要考查利用导数求函数的单调区间，及双参数恒成立的问题，一般都要换主求函数的最值，此题是一道中档题．