Question

15．已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|-2|x-1|＞1，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-2（1-x）＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{x+1-2（1-x）＞1}\end{array}\right.$ ②，
或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+1-2（x-1）＞1}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得$\frac{2}{3}$＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（$\frac{2}{3}$，2）．
（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|-2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-2a，x＜-1}\\{3x+1-2a，-1≤x≤a}\\{-x+1+2a，x＞a}\end{array}\right.$，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （$\frac{2a-1}{3}$，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，
可得$\frac{1}{2}$[2a+1-$\frac{2a-1}{3}$]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．