Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，记{b_n}的前n项和为T_n，当n≥2时，试比较2S_n与T_n+n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=2a_n-n得，该数列的递推公式，再进行变形构造新的特殊数列，求通项公式a_n．
（2）由题意列出数列的递推公式，得到该数列{b_n}为等差数列，再求出T_n，比较大小时用二项式定理，并用分析法进行证明．
解答：解：∵S_n=2a_n-n    ①
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1） ②
②-①得a_n=2a_n-1+1，∴a_n+1=2（a_n-1+1）
又∵a₁=2a₁-1，∴a₁=1
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ∴a_n=2ⁿ-1
由于a₁=1也适合上式，∴a_n=2ⁿ-1（n∈N⁺）
（2）∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，b₁=1，则 b_n=2n-1，
∴T_n==n²，
∴T_n+n=n²+n
∵S_n=2a_n-n，a_n=2ⁿ-1
∴2S_n=2ⁿ⁺²-2n-4，
当n=2时，2S_n=8，T_n+n=6，2S_n＞T_n+n，
下面用分析法证当n＞2时，2S_n＞T_n+n
要证明  2ⁿ⁺²-2n-4＞n²+n，
即证    2ⁿ⁺²＞n²+3n+4，
即证   （1+1）ⁿ⁺²＞n²+3n+4，
∵（1+1）ⁿ⁺²=c_n+2+c_n+2¹+c_n+2²+…+c_n+2ⁿ+c_n+2ⁿ⁺¹+c_n+2ⁿ⁺²
∵n＞2，c_n^k=c_n^n-k
∴（1+1）ⁿ⁺²≥2（C_n+2+C_n+2¹+C_n+2²）=n²+5n+8，当n=3时取等号，
综上可得：当n≥2时，2S_n＞T_n+n
点评：本题涉及到前n项和公式与通项公式的关系、递推公式，分别求数列的通项公式和前n项和，并用待定系数法；在比较大小时用到二项式定理，还有分析法证明，考查知识面广，有一定难度．