Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴y=f（x）在[1，a]上是减函数，…（2分）
又定义域和值域均为[1，a]，∴，…（4分）
即，解得 a=2． …（6分）
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，∴a≥2，…（7分）
又对称轴为x=a，a∈[1，a+1]，且（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²． …（10分）
∵对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，
∴f（x）_max-f（x）_min≤9，
即 （6-2a）-（5-a²）≤9，解得-2≤a≤4，…（13分）
又a≥2，∴2≤a≤4． …（14分）
分析：（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f（x）在[1，a]上的单调性，然后根据定义域和值域均为[1，a]建立方程组，解之即可；
（2）将a与2进行比较，将条件“对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9”转化成“对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有f（x）_max-f（x）_min≤9恒成立”即可．
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，其中（1）的关键是判断出函数f（x）在[1，a]上的单调性，进而根据已知构造关于a的方程组，（2）的关键将“对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤9”转化成“对任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，总有f（x）_max-f（x）_min≤9恒成立“