Question

（2013•嘉兴二模）设△ABC的三边长分别为a，b，c，重心为G，则|

GA

|2+|

GB

|2+|

GC

|2=

a2+b2+c2

3

．

Answer 1

分析：建立直角坐标系如图，设出三角形的顶点坐标，利用重心坐标求出G的坐标，然后求解表达式的值即可．

解答：解：以A为坐标原点，建立直角坐标系如图：则A（0，0），B（c，0）设C（m，n），则b²=m²+n²；a²=（m-c）²+n²，
G（

m+c

3

，

n

3

），
所以|

GA

|2+|

GB

|2+|

GC

|2
=(

m+c

3

)2+(

n

3

)2+(

2m-c

3

)2+(

2n

3

)2+(

m-2c

3

)2+(

n

3

)2
=

1

9

[3(m2+n2)+3(m-c)2+3n2+3c2]
=

1

9

(3a2+3b2+3c2)
=

a2+b2+c2

3

．
故答案为：

a2+b2+c2

3

．

点评：本题考查向量在几何中的应用．向量的坐标运算，向量的模的运算，正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性．