Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

．
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若tanC=2，求A的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，即AC•cosA=3BC•cosB，结合正弦定理可得sinBcosA=3cosBsinA，同除以cosAcosB可得答案；（2）由已知可得

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-2，代入（1）得

4tanA

1-tan2A

=-2，解得tanA=1或tanA=-

1

3

，结合cosA＞0，可得答案．

解答：解：（1）因为

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

，所以AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，…（2分）
即AC•cosA=3BC•cosB，由正弦定理知

AC

sinB

=

BC

sinA

从而sinBcosA=3cosBsinA…（4分）
因为A、B∈（0，π），结合上式可得cosA，cosB同号，只能为正，
同除以cosAcosB可得tanB=3tanA…（6分）
（2）因为tanC=2，所以tan[π-（A+B）]=2即tan（A+B）=-2…（8分）
即

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-2，由（1）得

4tanA

1-3tan2A

=-2
解得tanA=1或tanA=-

1

3

…（12分）
因为cosA＞0，故tanA=1，所以A=

π

4

…（13分）

点评：本题考查三角函数的运算，涉及向量的数量积，属中档题．