Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，且a≠1，t∈R）．
（Ⅰ）当t=4，x∈（0，+∞），且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（Ⅱ）当0＜a＜1，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）t=4，化简F（x）=g（x）-f（x）通过最小值2，列出不等式组，即可求a的值；
（Ⅱ）当0＜a＜1，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥g（x）恒成立，转化为t≥-2x+

x

+2在（0，+∞）上恒成立，通过构造二次函数，求出实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）t=4时，F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax
=loga

4(x+1)2

x

=loga4(x+

1

x

+2)，(x＞0)
∵4(x+

1

x

+2)的最小值为16，而F（x）有最小值2
∴

a＞1 loga16=2

∴a=4                                                            （5分）
（Ⅱ）0＜a＜1时，log_ax≥2log_a（2x+t-2）恒成立，
即x≤（2x+t-2）²在（0，+∞）上恒成立，
即

x

≤2x+t-2在（0，+∞）上恒成立，
即t≥-2x+

x

+2在（0，+∞）上恒成立，
记

x

=m(m＞0)，h(m)=-2m2+m+2
因为h（m）的最大值为

17

8

．
要使t≥h（m）恒成立，只需t≥

17

8

．（12分）

点评：本题考查函数的恒成立，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．