Question

中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2012年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2013年开始到2022年每年人口比上年增加0.5万人，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%．
（Ⅰ）求实施新政策后第n年的人口总数a_n的表达式（注：2013年为第一年）；
（Ⅱ）若新政策实施后的2013年到2032年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2032年后是否需要调整政策？

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据从2013年开始到2022年每年人口比上年增加0.5万人，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%，可得分段函数；
（Ⅱ）从2013年到2032年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式，可求S₂₀，从而可得新政策实施到2032年年人口均值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n≤10时，数列{a_n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，
∴a_n=45.5+0.5×（n-1）=45+0.5n              …（2分）
当n≥11时，数列{a_n}是以公比为0.99的等比数列，又a_n=50
∴a_n=50×0.99^n-10                                        …（4分）
因此，新政策实施后第n年的人口总数a_n（单位：万元）的表达式为
a_n=

45+0.5n，1≤n≤10 50+0.99n-10，11≤n≤20

                           …（6分）
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，则从2013年到2032年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：
S₂₀=S₁₀+（a₁₁+a₁₂+1+a₂₀）=477.5+4950×（1-0.99¹⁰）≈972.5万…（10分）
（说明：0.99¹⁰=（1-0.01）¹⁰≈0.9）
∴新政策实施到2032年年人口均值为

S20

20

≈48.62 万             …（12分）
由

S20

20

＜49，故到2032年不需要调整政策．                     …（13分）

点评：本题考查数列的应用，考查利用数列知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．