Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）经过点（

2

，

1

2

），直线l的方程为y=-1．
（1）求p的值；
（2）若点M是直线l上任意一点，过M点作抛物线的两条切线，切点分别为于A，B两点，设线段AB的中点为N，求点N的轨迹方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线x²=2py（p＞0）经过点（

2

，

1

2

），代入可求p的值；
（2）求出切线MA、MB的方程，可得M的坐标，结合中点坐标公式，即可求点N的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵抛物线x²=2py（p＞0）经过点（

2

，

1

2

），
∴2=2p×

1

2

，解得p=2；
（2）由（1）知，抛物线方程为x²=4y，设A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），N（x，y），
∵线段AB的中点为N，
∴x₁+x₂=2x①，

x12

4

+

x22

4

=2y②
∵y=

1

4

x²，
∴y′=

1

2

x，
∴抛物线x²=4y在A（x₁，y₁）点处的切线斜率为

1

2

x₁，在B（x₂，y₂）点处的切线斜率为

1

2

x₂，
∴切线MA：y=

1

2

x₁（x-x₁）+

x12

4

；切线MB：y=

1

2

x₂（x-x₂）+

x22

4

，
联立可得M（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）③，
联立①②③可得（2x）²=8y-8，
∴点N的轨迹方程为x²=2y-2．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线相切位置关系的判断，导数与曲线的切线斜率之间的关系，属于中档题．