Question

对于曲线x²-xy+y²=1有以下判断，其中正确的有

 

（填上相应的序号即可）．
（1）它表示圆；
（2）它关于原点对称；
（3）它关于直线y=x对称；
（4）|x|≤1，|y|≤1．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）曲线x²-xy+y²=1中含有xy项，方程不表示圆；（2）将x换成-x，且将y换成-y，方程不变；（3）将x，y互换，方程不变；（4）取x=

1

2

时，求出y=

1± 13

4

，不满足|y|≤1．

解答： 解：（1）曲线x²-xy+y²=1中含有xy项，方程不表示圆；
（2）在原方程中，同时将x换成-x，且将y换成-y，方程不变，就说明曲线关于原点对称；
（3）在原方程中，将x，y互换，方程不变，因此曲线关于直线y=x对称；
（4）x=

1

2

时，y²-

y

2

-

3

4

=0，所以y=

1± 13

4

，不满足|y|≤1，即（4）不正确．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题考查轨迹方程，考查关于轴对称、原点对称的曲线上的点的特点，属于基础题．