Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，则下列结论正确的是（　　）

• A、f（x）在（0，1）上恰有一个零点
• B、f（x）在（-1，0）上恰有一个零点
• C、f（x）在（0，1）上恰有两个零点
• D、f（x）在（-1，0）上恰有两个零点

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=（1-x）（1+x²+…+x²⁰¹²）+x²⁰¹⁴；从而确定函数的单调性，再由函数零点的判定定理求解．

解答： 解：∵f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴
=（1-x）（1+x²+…+x²⁰¹²）+x²⁰¹⁴；
∴f′（x）＞0在（-1，0）上恒成立；
故f（x）在（-1，0）上是增函数；
又∵f（0）=1，
f（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

2015

＜0；
故f（x）在（-1，0）上恰有一个零点；
故选B．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．