Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数．若当x≥0时，f（x）=

|1- 1 x | 0

x＞0， x=0.

（1）当0＜a＜b时，若f（a）=f（b），则ab的取值范围

 

；
（2）若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，则b，c满足的条件

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为0＜a＜b，所以f（a）=f（b）建立等式关系，然后利用基本不等式即可求出ab的范围；
（2）根据图象可知对于方程f（x）=a，当a=0时，方程有3个根；当0＜a＜1时，方程有4个根，当a≥1时，方程有2个根；当a＜0时，方程无解，则要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一个在区间（0，1）的正实数根和一个等于零的根，即可求出b、c满足的条件．

解答： 解：若x＜0，在-x＞0，则f（-x）=|1+

1

x

|，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=|1+

1

x

|=f（x），
即f（x）=|1+

1

x

|，x＜0，
作出函数f（x）的图象如图：
（1）∵0＜a＜b，∴f（a）=f（b），
即|1-

1

a

|=|1-

1

b

|，整理得

1

a

+

1

b

=2，
即a+b=2ab＞2

ab

，
解得ab＞1，
解得ab的取值范围是（1，+∞）．
（2）由图象可知对于方程f（x）=a，当a=0时，方程有3个根；
当0＜a＜1时，方程有4个根，
当a≥1时，方程有2个根；当a＜0时，方程无解
∴要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一个在区间（0，1）的正实数根和一个等于零的根．
∴c=0，f（x）=-b∈（0，1），
即-1＜b＜0，c=0．
故答案为：（1）．（1，+∞）．（2）．-1＜b＜0，c=0．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．综合性较强，难度较大．