Question

已知曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.是曲线上一点，，将点绕点逆时针旋转角后得到点,,点的轨迹是曲线.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程.
（Ⅱ）求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）＝＋，（Ⅱ）[2，4]

解析试题分析：（Ⅰ）先将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，设M(ρ，θ)，根据知，Q（，θ)，由是曲线上一点，，将点绕点逆时针旋转角后得到点知，P（，），代入曲线的极坐标方程即得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的极坐标方程为）＝＋，所以=＝ (1＋3sin²)，先求的取值范围，利用不等式的性质，即可求出|OM|的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为＋ρ²sin²θ＝1，即＋sin²θ＝．
在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ₁，α)，则
题设可知，ρ₁＝，α＝.                ①
因为点P在曲线C₁上，所以＋sin²α＝        ②
由①②得曲线C₂的极坐标方程为＝＋.        6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
＝ (1＋3sin²)．
因为的取值范围是[，]，所以|OM|的取值范围是[2，4].   10分
考点：直角坐标方程与极坐标方程互化，相关点法求曲线方程，函数的值域