Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若恒成立，求实数的值；

（Ⅱ）存在，且，，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）由不等式恒成立，即恒成立，令，分类讨论求得函数的单调性和最值，即可求解；

（Ⅱ）设，得到，转化为证明，进而转化为证，令，利用函数，单调性与最值，即可作出证明.

（Ⅰ）由题意，不等式恒成立，即恒成立，

令，则

①当时，，则函数单调递增，

又由，所以，，不符合题意，舍去.

②当时，函数在单调递减，单调递增，

所以

令，则，

则函数在单调递增，在单调递减，所以，

所以，在取等号，即.

（Ⅱ）由函数，则，

可得函数在递减；在递增，且

由，可得，

设，则，，

则，即 (*)

要证成立

只需证：，即证，

由(*)可知：即证

令，即证：

令，则，所以函数在上单调递增，

所以，即，

所以，所以.