Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=

π

2

，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=

2π

3

，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出PA的长即可；
（2）在三角形PBC中，由∠BPC与∠PCB的度数表示出∠PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．

解答： 解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=

π

4

，PC=

2

，
∵∠ACB=

π

2

，∴∠ACP=

π

4

，
在△PAC中，由余弦定理得：PA²=AC²+PC²-2AC•PC•cos

π

4

=5，
整理得：PA=

5

；
（2）在△PBC中，∠BPC=

2π

3

，∠PCB=θ，
∴∠PBC=

π

3

-θ，
由正弦定理得：

2

sin 2π 3

=

PB

sinθ

=

PC

sin( π 3 -θ)

，
∴PB=

4 3

3

sinθ，PC=

4 3

3

sin（

π

3

-θ），
∴△PBC的面积S（θ）=

1

2

PB•PCsin

2π

3

=

4 3

3

sin（

π

3

-θ）sinθ=

2 3

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

3

，θ∈（0，

π

3

），
则当θ=

π

6

时，△PBC面积的最大值为

3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．