Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=

2

，平面ABCD⊥平面ABE，
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥D-ACE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先，得到AD⊥AB，然后，根据面面垂直，得到AD⊥BE，再借助于直角三角形，得到AE⊥BE，从而得到证明；
（Ⅱ）首先，取AB中点O，然后，借助于V_D-ACE=V_E-ACD求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥AB．
又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABE，而BE?平面ABE．
∴AD⊥BE．
又∵AE=BE=

2

，AB=2，
∴AB²=AE²+BE²，∴AE⊥BE
而AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE 而BE?平面BCE，
∴平面ADE⊥平面BCE．
（Ⅱ）取AB中点O，连接OE．
∵△ABE是等腰三角形，∴OE⊥AB．
又∵平面ABCE⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE?平面ABCD
∴OE⊥平面ABCD
即OE是三棱锥D-ACE的高．
又∵AE=BE=

2

AB=2∴OE=1
∴V_D-ACE=V_E-ACD=

1

3

OE•S_{正方形ABCD}=

2

3

．

点评：本题重点考查了空间中垂直关系、空间几何体的体积公式及其运算等知识，属于中档题．