Question

已知函数f（x）=x²-4x+（2-a）lnx（a∈R，a≠0）．
（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，得出单调区间．从而求出极小值；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，从而确定函数的逗逗区间．

解答： 解：（1）依题意得，当a=8时，f（x）=x²-4x-6lnx，
∴f′（x）=2x-4-

6

x

=

2(x+1)(x-3)

x

，
由f′（x）＞0，得（x+1）（x-3）＞0，
解得x＞3或x＜-1．注意到x＞0，
∴函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f′（x）＜0，得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，注意到x＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，3）．
综上所述，函数f（x）在x=3处取得极小值，
这个极小值为f（3）=-3-6ln3．
（2）f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
∴f′（x）=2x-4+

2-a

x

=

2x2-4x+2-a

x

．
设g（x）=2x²-4x+2-a．
①当a≤0时，有△=16-4×2×（2-a）=8a≤0，
此时g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，△=16-4×2×（2-a）=8a＞0，
令f′（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，
解得x＞1+

2a

2

或x＜1-

2a

2

，
令f′（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，
解得1-

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
当0＜a＜2时，1-

2a

2

＞0，
此时函数的单调递增区间是（0，1-

2a

2

），（1+

2a

2

，+∞）
单调递减区间是（1-

2a

2

，1+

2a

2

）；
当a≥2时，1-

2a

2

≤0，
函数的单调递增区间是（1+

2a

2

，+∞），
单调递减区间是（0，1+

2a

2

）．
综上可知，当a≤0时，函数在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，函数在（0，1-

2a

2

），（1+

2a

2

，+∞）上单调递增，
在（1-

2a

2

，1+

2a

2

）上单调递减；
当a≥2时，函数在（1+

2a

2

，+∞）上单调递增，
在（0，

2a

2

）上单调递减．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的极值问题，是一道中档题．