Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a₂S_n+a₁，其中a₂≠0．
（1）若a₂=2，求a₁及a_n；
（2）若a₂＞-1，求证：S_n≤

n

2

（a₁+a_n），并给出等号成立的充要条件．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的前n项和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）S_n+1=a₂S_n+a₁，S_n=a₂S_n-1+a₁，两式相减得a_n+1=a₂a_n（n≥2），由此能求出an=2n-1．
（2）当n=1或n=2时，S_n=

n

2

(a1+an)，等号成立．设n≥3，a₂＞-1且a₂≠0，即证：1+a2+a22+…+a2n≤

n+1

2

(1+a2n)，n≥2，由此推导出当a₂＞-1且a₂≠0时，有Sn≤

n

2

(a1+an)，当且仅当n=1，2或a₂=1时等号成立．

解答： （1）解：S_n+1=a₂S_n+a₁…①，
当n=1时代入①，得S₂=a₂S₁+a₁，解得a₁=1；
由①得S_n=a₂S_n-1+a₁，两式相减得a_n+1=a₂a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=a2，
∴{a_n}为公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）证明：当n=1或n=2时，S_n=

n

2

(a1+an)，等号成立．
设n≥3，a₂＞-1且a₂≠0，
由（1）知，a1=1，an=a2n-1，
∴要证的不等式化为：
1+a₂+a22+…+a2n-1≤

n

2

(1+a2n-1)，n≥3，
即证：1+a2+a22+…+a2n≤

n+1

2

(1+a2n)，n≥2，
当a₂=1时，上面不等式的等号成立．
当-1＜a₂＜1时，a2r与a2r-1，（r=1，2，3，…，n-1）同为负；
当a₂＞1时，a2r-1与a2n-r-1，（r=1，2，2，…，n-1）同为正；
因此当a₂＞-1且a₂≠1时，总有 （a2r-1）（a2n-r-1）＞0，
即a2r+a2n-r＜1+a2n，（r=1，2，3，…，n-1）．
上面不等式对r从1到n-1求和得，
2(a2+a22+…+a2n-r)＜（n-1）（1+a2n），
由此得1+a2+a22+…+a2n＜

n+1

2

(1+a2n)．
综上，当a₂＞-1且a₂≠0时，有Sn≤

n

2

(a1+an)，
当且仅当n=1，2或a₂=1时等号成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．