Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有2S_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，2b_n+1-b_n=0（n∈N^*），且c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在整数m，使得对任意的正整数n，都有m-2＜T_n＜m+2．若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）易求a₁=1，n≥2时，2an=2(Sn-Sn-1)=(an2+an)-(an-12+an-1)，化简可得a_n-a_n-1=1，可知{a_n}为等差数列，易求a_n；
（2）由条件可知{b_n}为等比数列，易求b_n，c_n，利用错位相减法可求得T_n；
（3）只需求得T_n的范围，由（2）知T_n＜4．由数列单调性可得T_n≥T₁=1，于是可得m；

解答： 解：（1）当n=1时，2S₁=a₁²+a₁．∴a₁=1，
当n≥2时，2an=2(Sn-Sn-1)=(an2+an)-(an-12+an-1)，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）由b₁=1，

bn+1

bn

=

1

2

，得bn=(

1

2

)n-1，
∴cn=n•(

1

2

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

2

+…+n×(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，②
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+2(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n(

1

2

)n=2-(n+2)(

1

2

)n，
∴T_n=4-（n+2）•(

1

2

)n-1．
（3）由（2）知，对任意n∈N*，都有T_n＜4．
∵Tn+1-Tn=(n+2)(

1

2

)n-1-(n+3)(

1

2

)n=(n+1)(

1

2

)n＞0，
∴T_n≥T₁=1，∴0＜T_n＜4（n∈N*）．
故存在整数m=2，使得对于任意n∈N*，都有m-2＜T_n＜m+2．

点评：该题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列求和，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，错位相减法对数列求和是考查重点，要熟练掌握．