Question

已知函数f（x）=|2x-1|+ax．
（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≥|x-2|；
（Ⅱ）若f（x）≥x-

1

2

在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，关于x的不等式即|2x-1|-|x-2|+2x≥0，转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得函数h（x）=|2x-1|+

1

2

的图象应该在直线y=（1-a）x的上方或重合，可得0≤1-a≤2，或-2≤1-a＜0，由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，关于x的不等式f（x）≥|x-2|即|2x-1|+2x≥|x-2|，
即|2x-1|-|x-2|+2x≥0．
∴

x≥2 2x-1-(x-2)+2x≥0

①，或

1 2 ≤x＜2 2x-1-(2-x)+2x≥0

②，或 

x＜ 1 2 1-2x-(2-x)+2x≥0

．
解①求得x≥2，解②求得

3

5

≤x＜2，解③求得x∈∅．
综上可得，不等式的解集为[

3

5

，+∞）．
（Ⅱ）若f（x）≥x-

1

2

在R上恒成立，即|2x-1|+ax≥x-

1

2

在R上恒成立，
即|2x-1|+

1

2

≥（1-a）x．
故函数h（x）=|2x-1|+

1

2

的图象应该在直线y=（1-a）x的上方或重合．
如图所示：∴0≤1-a≤2，或-2≤1-a＜0，解得-1≤a≤1，或 1＜a≤3，
即a的范围是[-1，3]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，很熟的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．