Question

如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，点F在PD上，且PE：ED=2：1
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面EAC？若存在，试求出PF的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：转化思想,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证PA⊥平面ABCD，只需PA垂直于平面ABCD内的两条相交直线，根据题目中给的线段长，将PA，AB，PB放在一个三角形PAB中，经计算可知PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，第一问迎刃而解；
（2）据第（1）问结果，可以以A点为原点建立适当的坐标系，然后通过设点、求直线方向向量，平面法向量，最终将二面角转化为法向量的夹角问题；
（3）先假设存在点F，然后利用“BF∥平面EAC”构造等量关系（如平面法向量与直线方向向量共线列方程），若方程有解，则存在，否则不存在．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°
∴AB=AD=AC=1，
∵在△PAB中，PA=AB=1，PB=

2

，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB
同理，在△PAD中，可证PA⊥AD，
∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以A为原点，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，直线AD、AP分别为y、z轴建立空间直角坐标系，
如图，则A（0，0，0），B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

1

2

，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（0，

2

3

，

1

3

），
则

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)，

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • AC =0 n • AE =0

得

3 2 x+ 1 2 y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，
令x=1，则y=-

3

，z=2

3

，故

n

=(1，-

3

，2

3

)，
易知，平面DAC的法向量为

m

=（0，0，1），
设二面角E-AC-D的大小为θ（θ为锐角），
由cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| n • m |

| n || m |

，得
cosθ=

2 3

4×1

=

3

2

，故sinθ=

1

2

．

（Ⅲ）设点F是棱PC上的一点，
且

PF

=λ

PC

=(

3

2

λ，

1

2

λ，-λ)，其中0＜λ＜1，
又

BP

=(-

3

2

，

1

2

，1)，则

BF

=(

3

2

λ-

3

2

，

1

2

λ+

1

2

，-λ+1)，
由（Ⅱ）可知，平面EAC的法向量为

n

=（1，-

3

，2

3

），
要使BF∥面EAC，需满足

BF

⊥

n

，则

BF

•

n

=0，
∴

3

2

λ-

3

2

-

3

2

λ-

3

2

-2

3

λ+2

3

=0，
解得λ=

1

2

，故F为棱PC的中点时，

BF

∥面EAC，
此时F（

3

4

，

1

4

，

1

2

），

PF

=（

3

4

，

1

4

，-

1

2

），
∴PF的值为|

PF

|=

3 16 + 1 16 + 1 4

=

2

2

．

点评：空间中的垂直与平行主要是线线、线面、面面间的平行与垂直关系的互相转化，只要熟练掌握有关的定理、推论和相应的方法，就能解决问题，当然如果可以建立空间直角坐标系，也可以借助于直线的方向向量和平面的法向量进行证明；二面角一般转化为两平面的法向量的夹角，注意判断二面角是钝角还是锐角；探究性问题一般是先假设结论成立，然后将结论当成条件结合已知构造方程或不等式求解，若有解，则存在，否则不存在．