【题目】如图，在四棱锥
中，
平面
，点
为
中点，底面为梯形，
，
，
.
（1）证明：
平面
；
（2）求平面与平面
所成的锐二面角的大小.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
中点
, 连接
，
.利用中位线性质，结合平行线的传递性，可证出ME与CD平行且相等，从而得到四边形
是平行四边形，可得CM∥DE，最后根据线面平行的判定定理，证出CM∥平面PAD；
（2）建立空间坐标系，求得两个面的法向量，利用向量夹角公式求得二面角的大小.
（1）如图，取中点，连接，.
∵
是
中点，
∴
，
.
又
，
，
∴
，
.
∴四边形为平行四边形.
∴
.
∵
平面
，
平面，
∴
平面.
（2）取
中点
，由已知
为正方形，又
平面
，故以
为原点，
，
，
为
，
，
轴建立如图所示直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
则
，
，设平面的法向量
，则有
，
，解得
.
同理可求得平面
的法向量
，
∴
，即平面与平面所成锐二面角的大小为.
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【题目】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
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【题目】如图，在正方体
中，点
是线段
上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A. 当点移动至中点时，直线
与平面
所成角最大且为
B. 无论点在上怎么移动，都有
C. 当点移动至中点时，才有与
相交于一点，记为点
，且
D. 无论点在上怎么移动，异面直线与
所成角都不可能是
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，
，
，
，
的面积为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
，
两点，连接
，
分别交直线
于，
，
两点，若直线
，
的斜率分别为
，
，试问：
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
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【题目】已知抛物线
：
上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线
与抛物线交于两点
、
，且
，
是弦
中点，过作平行于
轴的直线交抛物线于点
，得到
，再分别过弦
、
的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点
、
，得到
和
，按此方法继续下去，解决下列问题：
①求证：
；
②计算的面积
；
③根据的面积的计算结果，写出、的面积，请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求此封闭图形的面积.
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【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
、
，
是椭圆的上顶点，
，且
的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
、
是椭圆上的两个动点，
，求当
的面积取得最大值时，直线
的方程．
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