Question

2．已知数列 {a_n}满足 a₁=1，a_n-a_n+1=na_na_n+1（n∈N^*），则 a_n=$\frac{2}{{n}^{2}-n+2}$．

Answer 1

分析 通过a_n-a_n+1=na_na_n+1（n∈N^*），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，并项相加可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，进而可得结论．

解答 解：∵a_n-a_n+1=na_na_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）+$\frac{1}{{a}_{1}}$
=（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+$\frac{1}{{a}_{1}}$
=$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$+1
=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{{n}^{2}-n+2}$，
故答案为：$\frac{2}{{n}^{2}-n+2}$．

点评 本题考查求数列的通项，利用并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．