Question

【题目】设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设直线与交于， 两点，点坐标为，若直线， 的斜率之和为定值3，求证：直线必经过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）设P、M的坐标，根据条件得两点坐标关系，再代入点满足的方程，化简得点的轨迹的方程；（2）由题意，得．即得,再将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理化简得

最后根据点斜式特点得定点.

试题解析： 1）设点P、M的坐标分别为 (x，y)、 (x0，y0)，由，得

∴

由点M在圆上，故，代入得．

∴ 点P的轨迹C的方程为 ．

（2）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为： ，

设A，B两点的坐标分别为 (x0，y0)、(x0， y0)，

由题意，得，解得，

所以直线l的方程为： ．当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y=kx+b，与C联立，

消元得．

设A，B两点的坐标分别为 (x1，y1)、 (x2，y2)，

则， （*）．

由题意，得．

将y1=kx1+b和y2=kx2+b代入上式，可得,

所以．（**）

将（*）代入（**），化简得，解得，

代入直线l方程，得．

不论b怎么变化，当=0即x=时， ．

综上所述，直线l恒过定点．